123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
分析：
这道题是2023年3月份华为可信考试2级编程题的一个题目，可以在LeetCode上找到原题，想要考察的是动态规划算法。这道题关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：
第一步：确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
0. 没有操作
1. 第一次买入
2. 第一次卖出
3. 第二次买入
4. 第二次卖出
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 – 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
第二步：确定递推公式
需要注意：dp[i][1]，**表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区**。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] – prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i – 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] – prices[i]，还是dp[i – 1][1]呢？
一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] – prices[i], dp[i – 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i – 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i – 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i – 1][1] + prices[i], dp[i – 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i – 1][3], dp[i – 1][2] – prices[i]); dp[i][4] = max(dp[i – 1][4], dp[i – 1][3] + prices[i]);
第三步：dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，
从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。
所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
第四步：确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i – 1]的数值。
第五步：举例推导dp数组
大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。
现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。
所以最终最大利润是dp[4][4]
以上五部都分析完了，不难写出如下代码：
package com.codernav.demo.hwod;
/**
* @title 123. 买卖股票的最佳时机 III
* @Description 给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
* @Author 开发者导航
* @website https://www.codernav.com
* @date 2023/3/9
*/
public class OdTest43 {
public static void main(String[] args) {
int[] nums = new int[]{3, 3, 5, 0, 0, 3, 1, 4};
// 动态规划
System.out.println(maxProfit(nums));
// 空间优化
System.out.println(maxProfit1(nums));
}
public static int maxProfit(int[] prices) {
int len = prices.length;
// 边界判断, 题目中 length >= 1, 所以可省去
if (prices.length == 0) return 0;
/*
* 定义 5 种状态:
* 0: 没有操作, 1: 第一次买入, 2: 第一次卖出, 3: 第二次买入, 4: 第二次卖出
*/
int[][] dp = new int[len][5];
dp[0][1] = -prices[0];
// 初始化第二次买入的状态是确保 最后结果是最多两次买卖的最大利润
dp[0][3] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i][3] + prices[i]);
}
return dp[len - 1][4];
}
// 空间优化
public static int maxProfit1(int[] prices) {
int len = prices.length;
int[] dp = new int[5];
dp[1] = -prices[0];
dp[3] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i]);
dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
dp[4] = Math.max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
}
return dp[4];
}
}
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