使用递归和动态规划两种方式解决“不同路径数”问题

题目：求不同路径
描述：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start”）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3
解释：从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6

分析：本篇文章还是主要讲动态规划的解题思路。还是老样子，三个步骤来解决。
第一步：定义数组元素的含义
由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，一共有 dp[i] [j] 种路径。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n – 1)，所以dp[m-1] [n-1] 就是我们要找的答案。
第二步：找出数组元素间的关系式
想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达：
1）一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达
2）一种是从(i, j – 1) 这个位置走一步到达
因为是计算所有可能的步骤，所以是把所有可能走的路径都加起来，所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。
第三步：找出初始值
显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i – 1 或者 j – 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：
dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往右走
dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走

package od;

/**
 * 求所有不同的路径
 * 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）
 * 机器人每次只能向下或向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）
 * 求总共有多少条不同的路径？
 * 原文地址：https://www.codernav.com/2804.html
 */
public class OdTest02 {
    public static void main(String[] args) {
        // 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ） 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
        // dp[m][n] = dp[m-1][n] + dp[m][n-1]
        System.out.println(f(7, 4));
        System.out.println(f1(7, 4));
    }

    // 递归法
    private static int f(int m, int n) {
        if (m <= 0 || n <= 0) {
            return 0;
        }
        if (m == 1 || n == 1) {
            return 1;
        }
        return f(m - 1, n) + f(m, n - 1);
    }

    // 动态规划法
    private static int f1(int m, int n) {
        if (m <= 0 || n <= 0) {
            return 0;
        }
        // 1.定义数组元素
        int[][] dp = new int[m][n];

        // 2.找到并初始化值
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }

        // 3.找出元素之间的关系式
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        // 数组是从下标0开始的，m,n指的是位置
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}